Open Access (Artykuł w pliku PDF)

Open Access (Article in English PDF file)

Generalization of Hamilton’s principle for the problem of coupled thermodiffusion

dr inż. Magdalena Sosnowska, Politechnika Bydgoska, Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0002-1158-5943
dr inż. Magdalena Lachowicz, Politechnika Bydgoska, Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0003-4047-2769
prof. dr hab. inż. Adam Podhorecki, Politechnika Bydgoska, Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska
ORCID: 0000-0002-9569-1769

Adres do korespondencji: Ten adres pocztowy jest chroniony przed spamowaniem. Aby go zobaczyć, konieczne jest włączenie w przeglądarce obsługi JavaScript. 

DOI: 10.15199/33.2024.02.04
Oryginalny artykuł naukowy

Streszczenie. Zmienna w czasie temperatura i stężenie substancji dyfundującej powodują deformację ciała stałego. Istnieje również proces odwrotny, czyli odkształcenie ciała stałego powoduje wytworzenie energii cieplnej oraz przepływ masy. Wymienione procesy są ze sobą sprzężone, a badaniem tego sprzężenia zajmuje się termodyfuzja. W artykule rozpatrzono zagadnienie początkowo-brzegowe ośrodka ciągłego, geometrycznie i fizycznie liniowego, przy umiarkowanej zmianie temperatury i stężenia substancji dyfuzyjnej. Zagadnienie takie można opisać za pomocą sprzężonych równań różniczkowych, rozszerzonego równania przewodnictwa cieplnego, rozszerzonego równania dyfuzji i równań teorii sprężystości uzupełnionych o warunki brzegowe i początkowe. W artykule wykazano, że równanie czasopracy wirtualnej, wyprowadzone na bazie równań różniczkowych, prowadzi do uogólnienia zasady Hamiltona. Równania czasopracy wirtualnej i zasady Hamiltona nie da się wyrazić w postaci minimum dobrze zdefiniowanego funkcjonału. Wiadomo, że takie sformułowanie pozwala na zastosowanie metod bezpośrednich. Łatwo wykazać, że z przedstawionej zasady wariacyjnej można wyprowadzić równania sprężystości, przewodnictwa cieplnego i dyfuzji.
Słowa kluczowe: zasada Hamiltona; sprzężona termodyfuzja; mechanika ośrodków ciągłych; termodynamika procesów nieodwracalnych.

Abstract. Variables in time of temperature field and concentration of diffusion substance field cause deformation of the solid. There is also a reverse process, i.e., deformation of the solid causes thermal energy (and its conduction) and mass flow. The mentioned processes are coupled together and thermodiffusion dealswith the study of this coupling. In the paper the problem of initial – boundary of the continuous center with moderate temperature change and moderate change in concentration of diffusion substance was considered. Such an issue can be written with conjugate differential equations, extended thermal, diffusion and the theory of elasticity equations supplemented with boundary and initial conditions. It is possible to described such an issue by the integral form using for this purpose the above differential equations and the equation of a virtual power in the space–time domain. It has been shown in the work that the equation of a virtual power, derived from the above differential equations, actually leads to the generalized Hamilton’s principle. The equation of a virtual power and Hamilton’s principle in the form shown in the work cannot be expressed as aminimumof awell-defined functional. It is known, that such formulation allows the use of direct methods. It is easy to showthat the elasticity, thermal conductivity and diffusion equations can be obtained from the presented variation principle.
Keywords: Hamilton’s principle; coupled thermodiffusion; mechanics of continuous medium; thermodynamics of irreversible processes.

Literatura
[1] Kleiber M. Mechanika techniczna, tom XI, Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, PWN, Warszawa 1995.
[2] Podhorecki A. Podstawy teoretyczne metody elementów czasoprzestrzennych, Wydawnictwo Uczelniane Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy, Bydgoszcz 2005.
[3] He J.-H. Hamilton’s principle for dynamical elasticity, Applied Mathematics Letter 2017; 72: 65 – 69.
[4] Kim J. Extended framework of Hamilton’s principle for thermoelastic continua, Computers & Mathematics with Applications. 2017; 73: 1505 – 1523.
[5] Kim J, Dargush GF. Lee HS. Extended framework of Hamilton’s principle in heat diffusion, International Journal of Mechanical Sciences. 2016; 114: 166 – 176.
[6] Marin M, Carrera E, Vlase S. An extension of the Hamilton variational principle for piezoelectric bodies with dipolar structure, Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2023; 30: 2453 – 2457.
[7] Junker P, Balzani D. An extended Hamilton principle as unifying theory for coupled problems and dissipative microstructure evolution. Continuum Mech. Thermodyn. 2021; https://doi.org/10.1007/s00161-021- 01017-z.
[8] Fung YC. Podstawy mechaniki ciała stałego, PWN, Warszawa 1969.
[9] Nowacki W. Termosprężystość, Zakład Narodowy Imienia Ossolińskich Wydawnictwo Polskiej Akademii Nauk, Wrocław – Warszawa – Kraków – Gdańsk 1972.
[10] Nowacki W, Olesiak ZS. Termodyfuzja w ciałach stałych, PWN, Warszawa 1991.
[11] Kączkowski Z. Metoda elementów czasoprzestrzennych, Komputerowe metody mechaniki ciał stałych, PWN, Warszawa 1995.

Przyjęto do druku: 24.01.2024 r.

Materiały Budowlane 2/2024, strona 17-20 (spis treści >>)